行は　　　2+9+4=15　　7+5+3=15　　6+1+8=15
　　列は　　　2+7+6=15　　9+5+1=15　　4+3+8=15
　　対角線は　2+5+8=15　　4+5+6=15
となって、確かに和がすべて等しくなっています。
　同じようにして４次魔方陣、５次魔方陣、６次魔方陣・・・があります。下の例を見て行、列、対角線の和が等しくなっていることを確認してみてください。
　魔方陣は英語では magic square です。昔からヨーロッパでも中国でも、魔方陣は神秘的なものとして多くの人を魅了してきました。現在でも魔方陣の研究をしている人がたくさんいます。昔と違ってコンピュータという道具があるので、いろいろなことが分かってきましたが、コンピュータを以ってしても分からない謎もたくさん残されています。
　なお、｢悪魔くん｣や｢グルグル｣にでてくる｢魔法陣｣はまったく別の物です。

・魔方陣の解はいくつある？
　さて、このような魔方陣を作るにはどうしたらいいでしょうか。３次魔方陣ならば少し考えるだけでも求められると思いますが、４次以上はなかなかできないでしょう。そして、解（答え）をひとつ出すだけでなく、全部で何通りあるのかに興味がもたれます。
　解がいくつあるかを考えるときは、回転や裏返しをどうするか決めておかないと話が混乱してしまいます。たとえば、上の３次魔方陣で全体を９０°右回転したものも魔方陣になっています（数字の向きは直してくださいね）。同様に180°、270°回転したパターンも魔方陣です。さらにそれらを裏返したものも魔方陣です。そうすると１つの解から７つの解が簡単に求められます。実際に解を数えるときは、このように回転や裏返しで一致するようなものは一種類として数えることにします。
　で、n次魔方陣の解の個数は何か公式でもあって簡単に求められると思われるかもしれません。ところが公式などはなくて、とにかく全部計算してみないと分からないという厄介な問題なのです。

・３次魔方陣の個数
　３次魔方陣の解は上に示した１つだけです。

・４次魔方陣の個数
　４次魔方陣は８８０種あります。これはコンピュータが発明される以前にすべて求められていました。現在ならパソコンですぐに全部の答えをだせるでしょう。プログラミングの演習問題として手ごろなところだと思います。
　　→ ４次魔方陣の性質 　　→ 特殊な４次魔方陣 　　→ ４次魔方陣のすべて 　　→ ４次魔方陣を求めるプログラム

・５次魔方陣の個数
　５次魔方陣はなんと、275,305,224（約3億）もあります。これは1973年にアメリカのシュレーペルがコンピュータですべてを計算して初めてわかったことです^*1。しかし残念なことに、このことはあまり話題にされなかったので、その後20年以上たっても５次魔方陣の総数は不明と書いてある本がありました。この計算は1970年代のコンピュータにとっては大仕事でした。大変な計算時間がかかったそうです。今なら、多少待ち時間が長くなりますがパソコンで計算できます。ただし、プログラムを組むのはそんなに簡単ではないかも知れません。当研究室でも以前、卒業研究ですべて計算を行いました。
　　→ 特殊な５次魔方陣

・６次魔方陣の個数
　５次魔方陣でこれだけの数になると６次魔方陣はいったいどれだけ多くなるのでしょうか。正確な数は現在わかっていません。それは最新のスーパーコンピュータを使ったとしてもとても計算しきれないからです。でも、およその数ならわかります。1992年に｢ランダムサンプリングによる推定｣という方法を使って、当研究室で計算されました^*2。その数は1.8×10¹⁹です。つまり
　　約 １８００京
になります。後の1998年にドイツのK.PinnとC.Wieczerkowskiもほぼ同じ数（1.775×10¹⁹）を出しています。

参考文献： 方陣の研究 大阪教育図書 1983年 平山, 阿部　（魔方陣全般を非常に詳しく解説しています）
　　　　 　　^*1Scientific American 1/1976 (Martin Gardnerによる紹介）
　　　　 　　^*2｢ランダムサンプリングによる6次魔方陣の総数の推定｣数芸パズル第177号 1992年4月 pp13-20 大石　 　　 → PDF