帯板離散化モデルと構造解析への適用に関する一考察

The Recent Advances of Finite Strip Models for Structural Mechanics

  • １．　はじめに

    　構造解析の技術革新を加速してきた有限要素法(Finite Element Method)は、１９４６年に数学者であるGurant1)によりその離散化概念が示され、またｌ９５６年にボ−イング社のTurnerら2)によりマトリックス剛性法として提案されて以来、偏微分方程式の一近似解析法として広い分野で用いられてきている。これまでに種々多様の有限要素モデルが開発され、また数百もの汎用プログラムが開発され、構造解析で取り扱う線形問題から非線形問題、静的問題から動的問題が日常的に解かれている。一方、有限要素で離散化された構造物の自由度数の大きさ, 計算機の容量や解の信頼性などの問題点も古くから指摘されている。このような欠点を補うために、１９６８年にY.K. Cheungにより、有限要素の離散化概念とFourier級数展開を組み合わせた有限帯板法(Finite Strip Method)が提案され, 板、シェル、折板や箱桁解析に適用されている。 ３次元の有限帯板法として知られる有限プリズム法(Finite Prism Method)や有限レイヤ−法(Finite Layer Method)も提案されてきている。また、有限帯板法の汎用性や精度を高めるために、種々の新しい帯板要素モデルが開発されている。このような有限帯板法を用いた構造解析に関する２，３の展望もCheung4)やWilsemanら5)により報告されている。 本文では、このような帯板要素モデルの離散化概念と構造解析への適用について、特に、板、シェル、折板構造・箱桁橋の曲げ問題、振動解析、弾性座屈解析や非線形構造解析などについてレビュ−を行っている。また、参考文献には、これまでに発表された主な研究論文が示されている。

  • ２．帯板要素モデル

    はじめに、有限帯板法の離散化概念について述べ、また仮定される座標関数の性質や用いる離散化手法により種々の帯板要素モデルが提案されているので、これらの帯板要素モデルの体系化を行う。

  • 2.1 有限帯板要素の離散化概念

    Y.K. Cheungにより1968年に提案された有限帯板法では、板解析における古典的なLevyの単級数解法 )のように、変位関数を２方向に分離し、一方向に境界条件を満足したFourier級数（固有関数）で展開することにより、支配方程式を表す偏微分方程式を常微分方程式に変換するが、 他の方向に区分多項式を仮定する有限要素概念を用いている。 すなわち、一方向に境界条件を満たした全体基底関数(Gloval coordinate functions)を仮定し、偏微分方程式を常微分方程式に変換するKantorovich法 )または線分割法(Method of line) )と有限要素法を組合せた帯板要素で離散化する方法である。したがって、有限帯板法では解析次元数を下げることができるので、有限要素法と比較して、入力デ−タが少なくでき、また未知数を大幅に低減させることができる。 同様な方法が、別個に、PowellとOgdenら )(1969)が鋼床板の曲げ解析で提案しており、またJirousek )(1968)が円筒シェルの曲げ解析で提案している。 このように、有限帯板法では、一方向の境界条件や幾何形状に制限を受けるが、一様な形状を有する板、シェルや折板・箱桁構造を経済的に解くことができ、また精度の高い解析結果が報告されている。特に、相対する境界条件が単純支持される場合には、固有関数の直交性により、さらに未知数を減じることができる。しかし、斜板問題、中間支点や中間隔壁を持つ問題や非線形問題のように、固有関数の直交性が得られない場合には、各級数項が連成するので、その利点が薄れるが、解析の次元数を低減させることが大きい利点として活用できる。例えば、２次元の薄板問題は、１次元問題として、また３次元弾性問題では、有限プリズム法や有限レイヤ−法を用いることにより２次元問題または１次元問題として取り扱うことができる。 一方、従来の有限帯板法の欠点を補うために、任意形状の帯板要素、応力仮定の帯板要素やスプライン関数を用いたスプライン帯板要素法などが提案されている。 　半解析的手法である有限帯板モデルは、仮定される座標関数の性質や適用する離散化手法により、種々の帯板要素モデルが導ける。

  • 2.2 変位関数と離散化手法　

    　一方向に与えられた境界条件を満足した固有関数を仮定することにより、偏微分方程式を常微分方程式に変換し、低次元化された板やシェルの問題は、Levyの単級数法や種々の離散化手法により解かれている。したがって、他の方向にどのような座標関数を仮定し、またどのような離散化手法で定式化することにより、多くの半解析的手法または半数値解析的手法が提案されてきている。ここでは、先に述べた常微分方程式化された板の問題について、これまでに提案されてきた半解析的手法の分類とその特徴について考察し、帯板離散化モデルとの関係について述べる。 一般に、板と環境・外力との相互作用として生じる力学的挙動を解析するためには、板の仮定（理想化）を成す板理論とその理論から導かれる支配方程式（数学モデル）いかに解くか（離散化手法）を選択しなければならない。これまでに、薄板理論、厚板理論、積層板理論、補剛板理論、異方性板理論や非線形板理論など多くの板理論が提案されているが、これらの問題は偏微分方程式または連立偏微分方程式で表される。したがって、このような問題を常微分方程式化する半解析的手法は、経済性の点において重要な意味を持っている。 次に、この常微分方程式を解くために、解析場と解析領域でどのような補間関数を仮定するかにより、またどのような離散化概念を用いるかにより種々の解析手法が導ける。すなわち、補間関数を　解析領域で全体的に補間する場合（全体基底関数）と区分的領域で補間する場合（局所基底関数）に分けられる。全体基底関数(Gloval coordinate functions)としては、Fourie級数、はりや柱の固有関数、Legendreの多項式、Lagrangeの多項式、Chebyshvの多項式や単純多項式などが挙げられる。また、後者には、Hermiteの区分的多項式、Chebyshvの区分的多項式やSpline関数などが含まれる。 　このような座標関数がどのような解析場（変位場、応力場、変位・応力場）で仮定されるかにより、変位法、応力法や混合法に分類される。また、どのような離散化概念（たとえば、エネルギ−原理、仮想仕事の原理、誤差分布原理（重み付き残差法）や微分方程式法、数値積分法、差分法、積分方程式法、還元法など）を用いるかによっても、多くの離散化解析法が定式化される。 これまでに述べてきた来たことは、広い意味での帯板離散化モデルである。したがって、古典的な線分割法(Method of Line)と組み合わせたたわみ角法、３連モ−メントの定理やリラクゼイション法などを用いた場合もこの範中に入ってくる。　 これまでに、提案されている帯板離散化法として、差分法と組み合わせたFinite strip- Finite Difference Method(1978) ),　選点最小二乗法を用いたFinite Strip Least Square Collocation Method )、Newmarkの数値積分法を用いた帯板分割法 , ), 伝達マトリックス法と組み合わせたFinite Strip-Transfer Matrix Method )や選点法を用いた有限帯板法 )などが挙げられる。　さらに、若菜らは )、偏平殻の解析で、連立常微分方程式の積分方程式への変換と伝達マトリックス概念を用いた帯板モデルを提案している。Harikら(1985) )は、常微分方程式に変換された式より得られる解析解を用いた解析的帯板法(Analytical Strip Method)を提案している。 Cheungにより提案された有限帯板法(FSM)は、変位場において補間関数をHermiteの区分的多項式で仮定し、この区分的領域（帯板要素）にポテンシャルエネルギ−最小の原理（Raleigh-Ritz法）により定式化された半解析的な離散化手法である。すなわち、有限要素法の離散化概念を用いている。この場合、各帯板要素の適合性を得るために、節線変位を用いている。区分多項式を用いているので、有限要素モデルと同様に各帯板要素の厚さや材料特性を任意にとることができる。また、高次の補間関数を用いることにより、高次の帯板要素も導かれている )。 ただし、有限要素法での節点変位ベクトルは物理的に意味を持っているが、有限帯板法での節線変位は、一般化座標での係数パラメタ−をなすので、このパラメ−タを用いて、物理量を再計算しなければならない。 最近、Y.K. Cheungらの研究グル−プ(1982)は、従来の有限帯板法の欠点を補うために、一方向に仮定される固有関数に代わり、区分的多項式として知られる３次のB-Spline関数を補間関数として利用し、他の方向には、従来のHermiteの多項式を用いたSpline 有限帯板法 (Spline Finite Strip Method)を提案している。このSpline帯板モデルは、従来の帯板要素と同様に、節線変位パラメタ−の概念を引き継いでいる。 著者らは )、1979年に、２方向に局所基底補間関数としてB-spline関数を仮定し、ポテンシャルエネルギ−最小原理（Rayleigh-Ritz法）を適用したSpline要素法(Spline Element Method)を提案している。この帯板モデルでは、節線変位パラメ−タの概念を用いずに、各帯板要素内での一般化変位パラメタ−を導入して、要素モデルを定式化している。さらに、エネルギ−原理に基づいき、はりの固有関数とB-spline関数を組み合わせたSpline帯板法(1984) )も提案している。これらの手法では、Spline関数の高次の連続性を利用し、Spline次数を変化させるだけで高次の帯板モデルが定式化でき、また、帯板要素の離散化概念を持つので、各帯板要素の板厚や材料特性を任意に変化させることもできる。 　一方、有限帯板要素法の弱点の一つである幾何形状の制約を外すために、任意形状の帯板要素の開発も古くから研究されてきている。大坪と北野ら )(1974)は、アイソパラメトリック要素の概念を用いて、任意の四辺形帯板要素を正方形要素に変換し、節線自由度を節点自由度に変換する方法について示している。Brownら　)(1978)は、サブパラメトリック要素の概念を導入して、任意の四辺形帯板要素（サブパラメトリック帯板要素）を提案している。 Buccoら(1979) )は、任意形状の板の問題を解くために、その板のたわみ等高面を求め、これを有限帯板法の変位関数に用いた方法(Finite Strip Method combined with the deflection contours method)を提案している。Yangら(1984) )は、CheungらのSpline有限帯板法を任意の四辺形板の問題に適用するために、X-Spline関数を用いたSpline帯板法を提案している。Cheungら(1986) )は、サブパラメトリック変換を考慮したスプライン有限帯板法の提案を行っている。さらに、林(1987)ら )は 、セレンディピティ要素の概念と節線に中間節点を導入したサブパラメトリック帯板要素モデルについて検討している。さらに、宿約変位関数の概念を用いた任意形状のKirchhoff帯板要素モデル )も提案している。Geannakakes　)(1990)は、Gram-Schmidtの直交化手法とセレンディピティ要素概念を適用した種々の高次の有限帯板モデルを提案している。 　さらに、もう一つの弱点である任意の境界条件（点支持、連続支持、局部拘束など）を取り扱うために、Compound Strip Method )が開発されている。 　BensonとHintonら(1976) )により提案された厚板有限帯板要素は、Dawe )やOnate )らによりMindlin板理論に基づく統一的なMindlin帯板要素モデルとして発展させられ、最近、薄肉構造、厚肉構造解析の新たな帯板離散化手法として脚光を浴びている。 以上述べてきたように、仮定される補間関数の性質や離散化手法により、多種多様の帯板要素モデルが提案されてきている。従来の有限帯板法の欠点、すなわち幾何形状の制約や境界条件の制約を外すために、有限要素の離散化概念を導入した帯板モデルも提案されている。また、従来用いられてきた固有関数を、Spline関数や直交多項式で置き換えた有限帯板モデルは、有用性の高い解析手法である。 次節では、これらの帯板モデルを用いた構造解析について、以下の内容の文献を示す。 ・ 板の曲げ解析

    ・　折板・箱桁の曲げ解析

    ・ シェル（曲面板）の曲げ解析

    　 ・　振動解析　　　　

    ・　弾性座屈解析

    ・　非線形構造解析

    ・ 有限プリズム法と有限レイヤ−法（３次元帯板モデル）

  • Biblio. for Application of FSM to Structural Analysis

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