板理論を用いた走行荷重を受ける橋の動的応答解析に関するレビュ−

Review on Dynamic Response of Plates subjected to moving lods

  • 　はじめに 　英国でのChester鉄道橋の崩壊(1847)以来、走行荷重を受ける橋の動的問題に関する理論的研究や実験的研究が活発に行われ、これまでに多くの研究成果が発表されてきた69-72)。特に、1940年代後半に開発されたコンピュータの実用化や計測技術の開発が橋梁の振動研究を加速してきた。Illinois大学を中心に行われたAASHOの道路橋に関する膨大な実験(1956-1960)は、この分野の先駆的研究として挙げられる68)。一方,モータリゼーションの加速に伴い、走行車両の重量化と高速化が進み、また橋梁の長大化や薄肉構造の開発が行われてきた。立体交差や道路線形を考慮した曲線橋や斜橋も多く建設されてきた。 　走行荷重を受けるこのような橋の衝撃係数や応答性状を明かにするために、従来一次元モデルとしてのはり理論を用いて研究されてきたが、スパンに比較して幅員の大きい橋や大型箱桁橋では、幅員方向の変形性状や断面変形の影響が大きく生じてくるので、２次元及び３次元モデルとしての板理論や折板・曲面板理論が用いられる。スパンが幅員の２倍以下になると、板理論とはり理論による結果に大きな差が生じてくることが指摘されている。特に、中小スパンの曲線桁橋、斜桁橋やこの種のスラブ橋では、非対称な反力分布によるねじり性状が卓越してくるので、より現実的なモデル化が必要になる。さらに、高次の振動モードも卓越してくるので、はりの挙動とはかなり異なった複雑な応答性状が示される。 　本文では、板理論を用いた走行荷重による橋の動的応答解析について、Fig. 1に示すような長方形板・直線橋、扇形板・曲線橋及び斜板・斜橋を例にとり応答解析法についてレビューする。とくに、橋梁のモデル化、走行車両のモデル化、離散化手法について考察している。参考文献には、これまでに発表されたこの種の主な研究論文が年代順に示してある。　　
  • ２. 板理論に基づく動的応答解析−モデル化 はじめに、走行荷重を受けるスラブ橋及び桁橋の動的挙動に与える主な要因を列記すると、次のとうりである。 （１） 橋の構造特性による要因 　(a) 支間/幅員比、(b) 板の剛性特性（桁の遍心結合を含む）、(c) 斜角・中心角（幾何形状）、(d) 支承構造（剛支持、点支持、連続支持を含む）、(e) 板厚/支間比、(f) 減衰特性、(g) 路面の凹凸や目地などが挙げられる。これらの要因を考慮して、種々の板理論が用いられてきている。主なものを挙げると、薄板理論、せん断変形・回転慣性を考慮したMindlin板理論・Ambartsumyan板理論、直交異方性板理論、Huberの補剛板理論、積層板理論、折板理論などがある。また、鋼材、コンクリートやアスファルトなどの材料特性も考慮しなければならない。 　（２） 走行車両に関する要因　　　　(h)　走行速度、 (i) 走行位置及び連行車両の数、 (j)　走行車両の質量効果、 (k) 車両のサスペンションの剛度、 (l) 車両の減衰特性、(m) 車両のサスペンションの初期変形、(n) 加速、減速操作、(o) 遠心力などが挙げられる。従って、より現実的な挙動を表すために橋と走行車両の動的相互作用を考慮して、Fig. 2に示すような種々の走行荷重モデルが提案されている。 （３） 主な解析パラメータ （１）と（２）で示した要因を考慮して、動的応答性状に与える各種解析パラメータが提案されてきている。 　すなわち、[a] 橋の構造パラメータ、[b] 走行荷重パラメータ、[c] 橋と走行荷重による連成パラメータ などが挙げられる。ここでは、これらの詳細については述べない。
  • ３．　離散化と応答解析法 　走行荷重を受ける板の動的応答解析として、Schmidt1)とReissner2)ら(1931)により、走行周期外力を受ける周辺単純支持された長方形板の応答解析が先駆的な研究として挙げられる。一方、ＡＡＳＨＯの橋梁振動の研究が1956年より開始され、コンピュータの実用化をうけて、理論的研究も活発に行われた。Oranら(1961)4) は、幅員方向の変形挙動に注目し、Rayleigh-Ritz法とNewmark法を用いて、コンクリート桁橋の動的解析を行い、また模型実験との詳細な検討も行っている12)。ここで、一自由度系走行荷重（Sprung-Unsprung mass model）を仮定し、また桁の曲げとねじり剛性も考慮した等方性板理論を用いている。さらに、走行荷重を受ける離散的に配置された桁を持つ板の動的解析として、解析的に取り扱ったCappelliらの研究7,9)や桁の偏心補剛を考慮したHuberの板理論を用いたSinghviら14,17)やFeeser8)の研究が挙げられる。これらの研究では、いずれも周辺単純支持板を対象とし、走行質量荷重(Moving mass model)や一自由度系走行荷重も考慮されている。平井は6)、走行外力(Moving force model)を受ける相対する２辺がそれぞれ単純支持と自由な直交異方性板の動的応答を解析的に解いている。また、桁橋を直交異方性板でモデル化し、動的応答に与える各種パラメータの影響を詳細に検討したJagadish13)やIyengerら の研究15,20)がある。走行する連行質量荷重を受ける周辺単純支持された等方性板の動的問題を解析的に解いたStanisic16)の研究もある。また、SaigalとAgrawalら48,49)は、初期条件を満たしたGreen関数を固有関数 に用いて、走行質量が作用する周辺単純支持された長方形板の応答解析を行っている。　　動的応答に与える板厚の増大に伴い生じる回転慣性や横せん断の影響をMindlin板理論により検討したJahanshakiらの研究10)やAmbartsumyanの板理論を適用した白川の研究40)も挙げられる。林川らは42-43)、板のねじり剛性を無視した直交異方性板理論を用いて連続板の応答問題を解析的に解き、動的増幅率について詳細に検討している。さらに、解析的に取り扱った研究として、交通渋滞の影響を解析した小堀ら45)の研究、移動荷重を受ける積層板の動的挙動を扱ったChonan46)の研究もある。 　一方、走行荷重を受ける扇形板の動的問題を解析的に検討した研究として、走行外力による等方性扇形板の応答解析を行ったRamakrishnannらの研究52,53)や一自由度系走行荷重を受ける補剛扇形板の応答を取り扱った Ramakrishnanらの研究55)がある。また、扇形スラブ橋の動的応答に与える横せん断変形の影響を検討した小林らの研究59,60)もある。 以上述べてきた解析的手法は、解の見通しや解析パラメータの取り扱いが容易であるが、一般に複雑な幾何形状や任意の境界条件を持つ板構造の応答解析への適用には問題が多く見られる。従って、より汎用的な解析方法として、1950年代半ばに提案された有限要素法や有限帯板法を用いた基礎的研究が1970年に入り活発に行われている。初期の研究では、種々の板要素モデルを用いて単純な走行荷重モデルを受ける長方形板、扇形板や斜板の動的応答解析への適用性について検討されてきたが、より現実的な走行車両モデルや構造モデルを用いて、桁橋や箱桁橋の動的特性についても詳細に研究されて来ている。 　最初に有限要素法を適用した研究として、Damleら(1969,1970)18,21) と Yoshidaら(1970,1971)19,22)は、長方形板要素を用いて板の離散化を行い、走行外力荷重と走行質量荷重が作用する周辺単純支持された長方形板の応答解析を行っている。いずれも、Newmark法を用いて運動方程式を解いている。Eberhardt25)は、３自由度系走行荷重モデルを受ける連続桁橋の動的応答解析を行っている。ここで、桁と床板の連成挙動を考慮して、はり要素と板要素により桁橋のモデル化を行い、連成運動方程式をNewmark法により解いている。　また、　　Petersonら26,27)も、桁橋の動的応答を有限要素法を用いて詳細に検討している。Smithは(1973)28)、初めて有限帯板法とModal Analysis法（Runge-Kutta法）を用いて、一自由度系走行荷重モデルを受ける桁橋の動的応答解析を行っている。有限帯板法を用いた他の研究として、走行外力を受ける連続桁橋の応答解析を行った清水の研究31)や岡部らの研究32)がある。また、Mulcalyら37)も、Smithの方法を拡張して２軸走行車両モデルを受けるスラブ橋の応答解析を行っている。Guptaら35,38,39)は、有限要素法とNewmark法を用いて、２軸走行荷重(Two axle sprung mass model)を受ける桁橋の動的性状に与える加速・減速効果、路面の不陸などの影響を詳細に検討している。 最近では、Wuら47)により、有限要素法とNewmark法を用いて走行外力モデルを受ける連続スラブの応答性状に与える加速効果、対面走行の影響が検討されている。　 　　　　 Jonesら(1972,1976)24,32,33)は、有限要素法とModal analysis法を用いて、一自由度系走行荷重を受ける箱桁橋の３次元動的応答解析を行っている。Huttonら36)は、有限帯板法とModal analysis法を適用して、２軸走行車両モデルを受ける単純桁橋と箱桁橋の３次元応答解析を行い、衝撃係数に与える種々の荷重パラメータや路面の不陸の影響について検討している。さらに、舗装の粘弾性特性を考慮した二層帯板要素を用いて、箱桁の動的応答解析を行った岩崎らの研究41)もある。 　板理論に基づく扇形板及び曲線橋の動的応答解析への有限要素法の適用に関する研究が、Das(1971)50)により初めて検討されている。三角形板要素とはり要素を用いて非対称断面を持つ曲線桁橋のモデル化を行い、走行外力と走行質量荷重を受ける場合の運動方程式をNewmark法を用いて解いている。Chaudhuriら55,57)は、扇形板要素とNewmark法を用いて、２軸４車両モデル(Two-axled four wheeled sprung mass model)を受ける曲線Ｉ桁橋の動的応答解析を行っている。Deyら60)も一自由度系走行荷重が作用する曲線スラブ橋を直交異方性板で理想化し、有限帯板法とModal analysis 法を用いて応答解析を行っている。 また、曲線箱桁橋の３次元応答解析として、有限要素法を適用して研究したRabizadehらの論文51,54)が挙げられる。　ここでは、走行外力荷重を採用し、線形加速度法により運動方程式を解いている。　　　 さらに、Mukherjeeら58,59)も有限帯板法とModal analysis法を用いて、走行外力荷重を受けるコンクリート箱桁橋の３次元動的応答解析を行っている。 　 走行荷重を受ける斜橋の動的解析を解析的に取り扱った研究は見あたらないようである。Eka(1971)63)は、有限要素法を用いて、走行外力を受ける斜桁橋の動的応答解析を行っている。水澤64)は、走行外力を受ける弾性支承された斜スラブの動力学的性状を、平行四辺形板要素とNewmark法を用いて解析している。非張力バネを導入して、スラブの支点での浮き上がり性状についても検討している。 Srinivasanら65)は、有限帯板法と Modal analysis法を用いて、走行分布外力を受ける斜スラブ橋の動的応答解析を行い、さらにこの手法を適用して補剛桁を持つ斜スラブの応答解析についても検討している66)。水沢ら67)は、種々の走行車両モデルを受ける斜スラブの応答解析を、有限要素法とNewmark法を用いて検討している。 このように、走行荷重を受ける橋梁の動的挙動解析のために、多種多様の構造モデル・走行荷重モデルと応答解析手法が提案されてきている。先に述べてきた研究論文では、走行荷重と橋の連成による橋全体の応答性状、桁断面の変形性状、静的応答最大値に対する動的最大応答値（衝撃問題）や局所的な動的応力性状（疲労問題）などが検討されている。このような研究成果を踏まえて、より合理的な橋の動的設計法について検討していく必要がある。
  • ４．　あとがき 以上、板理論を用いた種々の板及び橋の走行荷重による動的解析におけるモデル化と解析手法について検討してきたが、1970代より有限要素法や有限帯板法を適用した研究が主流をなしているように思われる。とくに、より現実的な走行荷重モデルと構造モデルを用いて、各種橋梁の応答性状について研究されてきている。また、これらの研究では、確定論手法による研究がほとんどで、不規則振動論を用いた研究がほとんど見あたらない。　さらに、ここでは触れなかったが、走行荷重を受ける弾性地盤上の板の応答解析も行われているし、また格子桁理論を用いた研究も古くから行われている。 　本文では、各種橋梁の力学性状（動的変形特性、衝撃係数など）について直接触れなかったが、また、別の機会に報告したいと考えている。最後に、これらの研究調査が、橋梁の動的問題の解法や設計に役立てば幸いと思っている。

    References

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